Barisan dan Deret

A. Barisan dan Deret Aritmatika

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap. Contohnya seperti pada pembukaan artikel ini, yaitu urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dan seterusnya. Jika diperhatikan, selisih antarbilangannya selalu tetap, yaitu 2. Selisih pada barisan aritmatika disebut sebagai beda atau dinyatakan secara matematis sebagai b. Setiap bilangan yang menyusun barisan disebut suku atau dinyatakan sebagai U_n . Misalnya, 1 = suku ke-1 (U₁), 3 = suku ke-2 (U₂), 5 = suku ke-3 (U₃), dan seterusnya. Sementara itu, suku pertama (U₁) pada barisan dinyatakan secara matematis sebagai a.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama (S_n) dari barisan aritmatika. Ciri deret aritmatika adalah suku-suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih tetap. Contohnya adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + …, dan seterusnya. Lantas, apa perbedaan deret aritmatika dengan deret geometri? Perbedaannya adalah deret geometri berlaku untuk barisan geometri, yaitu barisan yang polanya berupa perkalian atau pembagian. Ciri barisan aritmatika yang membedakannya dengan barisan geometri adalah selisih sukunya yang selalu tetap.

Rumus Barisan Aritmatika

Rumus barisan aritmatika tidak bisa terlepas dari ketiga variabel yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Secara matematis, suku ke-n (U_n) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut.

Dengan:

U_n = suku ke-n;

a = suku ke-1;

n = posisi suku yang ditanyakan; dan

b = selisih (U_n-1 – U_n).

Setelah mengetahui rumus barisan aritmatika di atas, cobalah untuk menyelesaikan tantangan di awal artikel ini. Berapakah suku ke-20 dari barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …?

Dari barisan tersebut diperoleh:

a = 1

b = 2

Suku ke-20 dinyatakan sebagai U₂₀. Dengan demikian,

Jadi, suku ke-20 dari barisan tersebut adalah 39

Rumus Deret Aritmatika

Rumus deret aritmatika juga masih memuat variabel yang sama dengan barisan, seperti variabel a, b, dan n. Secara matematis, rumus deret aritmatika dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku pertama;

n = urutan suku;

a = suku pertama; dan

b = selisih atau beda antarsuku.

Dari rumus di atas, kira-kira berapa ya jumlah semua suku dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15?

Mari, kita uraikan satu per satu.

Suku pertama deret tersebut adalah 1, sehingga a = 1.

Selisih setiap sukunya adalah 2, sehingga b = 2.

Banyaknya suku = 8, sehingga n = 8.

Dengan demikian, jumlah sukunya bisa dirumuskan sebagai berikut.

Jadi, jumlah semua suku tersebut adalah 64.

B. Barisan dan Deret Geometri

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai U_n (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara U_n+1 dan U_n disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U₁) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.

Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai S_n. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika. 

Rumus Barisan Geometri

Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

Dengan ketentuan:

U_n = suku ke-n;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Setelah kamu tahu rumus untuk mencari suku-n, cobalah hitung berapa jumlah amoeba yang dihasilkan pada pembelahan ke-10? Jumlah awal amoebanya adalah satu, ya.

Mula-mula, kamu harus membuat barisan geometri dari pembelahan amoeba seperti berikut.

1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …

Dari barisan di atas, diketahui:

a = U₁ = 1

r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2

n = 10

dengan demikian:

Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512

Rumus Deret Geometri

Berdasarkan nilai rasionya, deret geometri memiliki beberapa rumus seperti berikut.

Rumus deret geometri untuk r > 1

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri untuk r <1 

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah jumlah barisan geometri yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus mengecil. Secara matematis, rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah sebagai berikut.

Contoh deret geometri tak hingga konvergen adalah saat kamu menjatuhkan bola dari ketinggian tertentu. Semakin lama, ketinggian bola akan berkurang hingga kemudian berhenti.

Rumus deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar, sehingga deret geometri tak hingga divergen adalah jumlah barisan yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus membesar. Oleh karena nilainya yang terus membesar tanpa ada batas tertentu, maka rumus deret geometri tak hingga divergen tidak bisa ditentukan karena S_∞ = ∞.

Contoh Soal Barisan Geometri

Diketahui suatu deret geometri berikut.

Berapakah nilai suku ke-15?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio dari barisan pada soal.

Dengan demikian, suku ke-15 bisa dicari dengan rumus berikut.

Jadi, suku ke-10 nilainya adalah x16.384.

Contoh Soal Deret Geometri

Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:

Diketahui:

U₁ = a = 3 cm

U₅ = 243

Ditanya: S_n =…?

Jawab:

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m

C. Bunga Penyusutan, Pertumbuhan

Peluruhan (penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan atau penyusutan secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan harga barang. Bila keadaan awal dinyatakan dengan Mo , laju peluruhan dengan p per periode dan lama peluruhan dengan n, maka keadaan setelah n periode

1. Mo × p M1 = Mo − Mo × p = Mo (1 − p)

2. M1 × p = M2 = M1 − M1 × p = M1 (1 − p) = Mo (1 − p)(1 − p) = Mo (1 − p) 2

3. M2 × p = M3 = M2 − M2 × p = M2 (1 − p) = Mo (1 − p) 2 (1 − p) = Mo (1 − p) 3

n. Mn = Mo (1 − p) n 

Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Coba Anda hitung banyak bakteri setelah 24 jam pertama pemberian penisilin! 

Alternatif penyelesaian Banyak bakteri di awal, 

Mo = 1.000.000 

Faktor peluruhan, p = 5% = 0,05 per 4 jam 

Periode waktu, n = 24/4 = 6 periode 

Mn = Mo × (1 − p) n 

M6 = 1000000 × (1 − 0,05) 6 

M6 = 1000000 × 0.735091890625 

M6 = 735091,890625 

M6 = 735092 

Jadi setelah 24 jam jumlahnya tinggal 735.092 bakteri.

Pertumbuhan dapat diartikan sebagai perubahan kuantitatif pada materiil sesuatu sebagai akibat dari adanya pengaruh lingkungan. Perubahan kuantitatif yang dimaksud dapat berupa pembesaran atau penambahan dari tidak ada menjadi ada, dari kecil menjadi besar, dari sedikit menjadi banyak, dari sempit menjadi luas, dan sebagainya. Jadi pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan secara eksponensaial. 

1. Mo × p = M1 = Mo + Mo × p = Mo (1 + p)

2. M1 × p = M2 = M1 + M1 × p = M1 (1 + p) = Mo (1 + p)(1 + p) = Mo (1 + p) 2

3. M2 × p = M3 = M2 + M2 × p = M2 (1 + p) = Mo (1 + p) 2 (1 + p) = Mo (1 + p) 3

n. Mn = Mo (1 + p)

Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada akhir tahun 2014 ! 

Alternatif penyelesaian 

Banyak penduduk pada akhir tahun 2009, 

Mo = 100.000 orang 

Faktor pertumbuhan, p = 1% = 0,01 per tahun 

Periode pertumbuhan s.d. 2014, n = 5 tahun. 

Banyak penduduk setelah 5 tahun, 

Mn = Mo (1 + p) n 

M5 = 100000(1+0,01) 5 

M5 = 100000 × 1,0510100501 

M5 =105101 

Jadi banyak penduduk kota tersebut pada akhir tahun 2014 diperkirakan 105.101 orang.

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya dan dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. 

Anuitas = Angsuran + Bunga 

Rumus Angsuran : An = A1 (1 + p) n-1 

Rumus Anuitas: AN = Mo × p ÷ [1 − (1 + p)−n] 

Contoh: Budi meminjam uang sebesar Rp5.000.000 dengan bunga 12% per tahun atau 1% per bulan secara anuitas dalam 10 bulan masa pelunasan. 

AN = Mo × p ÷ [1 − (1 + p)−n] 

AN = 5000000 × 0,01 ÷ [1 − (1 + 0,01)−10] 

AN = 527.910,383 

Untuk memudahkan pembayaran digunakan pembulatan, menjadi: 

AN = 528.000 

Lihatlah, pelunasan yang dilakukan Budi selalu tetap setiap bulannya, yakni Rp528.000 kecuali pelunasan terakhir karena faktor pembulatan. Pada pelunasan pertama, yang dibayar Rp528.000 meliputi angsuran Rp478.000, bunga hutang Rp50.000, sehingga sisa hutang Rp4.522.000. Dan seterusnya